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1. Mesure de la dimension fractale

1.3 Le module d'estimation

L'étape suivante est d'approcher la courbe empirique (en bleu) par une courbe théorique (en rouge) suivant une loi de puissance N = ε^D or N = ε^-D. Le logiciel propose trois méthodes d'approximation :

régression non linéaire
régression linéaire logarithmique
régression différentielle (seulement avec l'analyse radiale et la corrélation)

1.3.1 Régression non linéaire

Avec cette méthode, nous pouvons approximer la courbe empirique par quatre équations : la loi fractale N(ε) = ε^D et trois autres qui permettent de tenir compte de la déviation à la loi fractale

N(ε) = a.ε^D
N(ε) = ε^D+c
N(ε) = a.ε^D+c

avec
D : dimension fractale.
c : décalage en ordonnées.
a : “préfacteur de forme”.
Par défaut, la dernière équation est utilisée.

1.3.2 Régression linéaire logarithmique

Cette méthode utilise une représentation double logarithmique permettant de “linéariser” la courbe. Dans ce cas, la loi fractale devient :

log(N(ε)) = log(ε^D) => log(N(ε)) = D.log(ε)

Dans le logiciel, l'équation utilisée est : log(N(ε)) = D.log(ε)+c

1.3.3 Régression différentielle

Cette méthode a été ajoutée pour comparer les résultats obtenus avec la régression non linéaire.

1.3.4 Qualité de l'estimation

La qualité de l'estimation est quantifiée par un coefficient de corrélation compris entre 0 et 1. Si il vaut 1 l'ajustement est parfait.

1.3.5 Autres courbes

Courbe du comportement scalant : α(ε) = d log(N(ε)) / d log(ε)
Courbe d'erreur : différence entre la courbe empirique et la courbe estimée f_diff = f_emp - f_estim
Courbe d'objectif

<- 1.2 Les méthodes de comptage

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